9641. Основание правильной треугольной призмы — равносторонний треугольник ABC
со стороной a
. На боковых рёбрах взяты точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, удалённые от плоскости основания на расстояния \frac{a}{2}
, a
и \frac{3a}{2}
. Найдите угол между плоскостями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на боковых рёбрах призмы, проходящих через точки A
, B
и C
соответственно. Опустим перпендикуляр A_{1}K
из точки A_{1}
на прямую BB_{1}
. Из прямоугольного треугольника A_{1}KB_{1}
находим, что
A_{1}B_{1}=\sqrt{A_{1}K^{2}+B_{1}K^{2}}=\sqrt{AB^{2}+(BB_{1}-AA_{1})^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left(a-\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
Аналогично находим
B_{1}C_{1}=\frac{a\sqrt{5}}{2},~A_{1}C_{1}=a\sqrt{2}.
Пусть S
и S_{1}
— площади треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно. Треугольник ABC
— равносторонний со стороной a
, поэтому S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренный со сторонами \frac{a\sqrt{5}}{2}
, \frac{a\sqrt{5}}{2}
и a\sqrt{2}
, поэтому
S_{1}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{6}}{4}.
Пусть угол между плоскостями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равен \varphi
. По теореме о площади ортогональной проекции (см. задачу 8093)
\cos\varphi=\frac{S}{S_{1}}=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{\frac{a^{2}\sqrt{6}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно, \varphi=45^{\circ}
.