9649. Внутри правильного тетраэдра расположены два шара радиусов
2R
и
3R
, касающиеся друг друга внешним образом, причём один шар вписан в трёхгранный угол тетраэдра с вершиной
A
, а другой — в трёхгранный угол с вершиной
B
. Найдите ребро тетраэдра.
Ответ.
(5\sqrt{6}+\sqrt{22})R
.
Решение. Пусть первый шар с центром
O_{1}
касается плоскости
ABC
в точке
P
, второй шар с центром
O_{2}
— в точке
Q
,
DO
— высота тетраэдра,
M
— середина ребра
BC
. Обозначим ребро тетраэдра через
x
, а угол между высотой тетраэдра, проведённой из вершины
D
, и плоскостью грани
BDC
через
\alpha
.
Из прямоугольного треугольника
DOM
получаем, что
\ctg\alpha=\frac{DO}{OM}=\frac{x\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{x\sqrt{3}}{6}}=2\sqrt{2}

(см. задачу 7040).
Плоские углы рассматриваемых трёхгранных углов равны, а шары расположены внутри тетраэдра, поэтому точки
P
и
Q
лежат на отрезках
OA
и
OB
соответственно, причём
AP=O_{1}P\ctg\alpha=2R\cdot2\sqrt{2}=4R\sqrt{2},~BQ=O_{2}Q\ctg\alpha=3R\cdot2\sqrt{2}=6R\sqrt{2},

OP=OA-AP=\frac{x\sqrt{3}}{3}-4R\sqrt{2},~OQ=OB-BQ=\frac{x\sqrt{3}}{3}-6R\sqrt{2}.

Плоскость, проходящая через параллельные прямые
O_{1}P
и
O_{2}Q
, пересекает шары по касающимся кругам радиусов
2R
и
3R
, а плоскость
ABC
— по общей касательной
PQ
к этим кругам. Тогда
PQ=2\sqrt{2R\cdot3R}=2R\sqrt{6}

(см. задачу 365), при этом
\angle POQ=120^{\circ}
.
Применив к треугольнику
POQ
теорему косинусов, получим, что
OP^{2}+OQ^{2}-2OP\cdot OQ\cos120^{\circ}=PQ^{2},

или
\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}-4R\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}-6R\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}-4R\sqrt{2}\right)\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}-6R\sqrt{2}\right)=24R^{2},

После очевидных преобразований получим квадратное уравнение
x^{2}-10Rx\sqrt{6}+128R^{2}=0,

из которого находим, что
x=(5\sqrt{6}+\sqrt{22})R
или
x=(5\sqrt{6}-\sqrt{22})R
. Второй корень не удовлетворяет очевидному условию
OA\gt AP
, т. е.
\frac{x\sqrt{3}}{3}\gt4R\sqrt{2}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1966, билет 3, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 66-3-4, с. 115
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 103, с. 16