9661. Дан произвольный тетраэдр и точка N
. Докажите, что шесть плоскостей, каждая из которых проходит через одно ребро тетраэдра и параллельна прямой, соединяющей точку N
с серединой противоположного ребра, пересекаются в одной точке.
Указание. Отметьте точку, симметричную точке N
относительно точки пересечения медиан тетраэдра.
Решение. Пусть Q
— середина ребра CD
тетраэдра ABCD
, P
— середина ребра AB
, M
— точка пересечения медиан тетраэдра (см. задачу 7110). Известно, что отрезок PQ
проходит через точку M
и делится ею пополам (см. задачу 7108).
Пусть N'
— точка, симметричная точке N
относительно M
. Тогда PN'\parallel NQ
, поэтому плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые AB
и PN'
, параллельна прямой NQ
. Эта плоскость содержит точку N'
. Аналогично, остальные пять плоскостей, о которых говорится в условии задачи, также проходят через точку N'
. Следовательно, все шесть таких плоскостей проходят через точку N'
.