9664. Пусть r
— радиус вписанной сферы тетраэдра; r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
и r_{d}
— радиусы сфер, каждая из которых касается одной грани и продолжений трёх других. Докажите, что
\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}+\frac{1}{r_{d}}=\frac{2}{r}.
Решение. Пусть S_{a}
, S_{b}
, S_{c}
и S_{d}
— площади граней соответственно BCD
, ACD
, ABD
и ABC
тетраэдра ABCD
объёма V
. Тогда
V=\frac{1}{3}(S_{b}+S_{c}+S_{d}-S_{a})r_{a},~V=\frac{1}{3}(S_{a}+S_{c}+S_{d}-S_{b})r_{b},
V=\frac{1}{3}(S_{a}+S_{b}+S_{d}-S_{c})r_{c},~V=\frac{1}{3}(S_{a}+S_{b}+S_{c}-S_{d})r_{d}
(см. замечание 2 к задаче 7185), откуда
\frac{1}{r_{a}}=\frac{S_{b}+S_{c}+S_{d}-S_{a}}{3V},~\frac{1}{r_{b}}=\frac{S_{a}+S_{c}+S_{d}-S_{b}}{3V},
\frac{1}{r_{c}}=\frac{S_{a}+S_{b}+S_{d}-S_{c}}{3V},~\frac{1}{r_{d}}=\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}-S_{d}}{3V}.
Сложив эти равенства, получим, что
\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}+\frac{1}{r_{d}}=
=\frac{2S_{a}+2S_{b}+2S_{c}+2S_{d}}{3V}=2\cdot\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}+S_{d}}{3V}=\frac{2}{r}
(см. замечание 2 к задаче 7185).