9666. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде проведено сечение через диагонали оснований и сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания. Угол между секущими плоскостями равен \alpha
. Найдите отношение площадей сечений.
Ответ. 2\cos\alpha
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры оснований соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данной правильной усечённой четырёхугольной пирамиды ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, S
и P
— площади сечений AA_{1}C_{1}C
и BA_{1}D_{1}C
соответственно.
Ортогональная проекция вершин B
и D_{1}
на плоскость сечения AA_{1}C_{1}C
— точки O
и O_{1}
, поэтому ортогональная проекция сечения BA_{1}D_{1}C
на плоскость сечения AA_{1}C_{1}C
есть трапеция OA_{1}O_{1}C
, площадь которой равна половине площади сечения AA_{1}C_{1}C
, т. е. \frac{S}{2}
.
С другой стороны, по теореме о площади ортогональной проекции (см. задачу 8093) \frac{S}{2}=P\cos\alpha
. Следовательно, \frac{S}{P}=2\cos\alpha
.