9672. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D'
с боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. На рёбрах AB
, BC
, CD
, DA
нижнего основания отмечены точки K
, L
, M
, N
таким образом, что AK:KB=9:7
, BL:LC=7:5
, CM:MD=5:3
, DN:NA=3:1
. Пусть P
, Q
, R
— центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA'
, BLKB'
, CMLC'
соответственно. Найдите QR
, если известно, что PQ=1
и AB:BC=4:3
.
Ответ. \frac{3}{4}
.
Решение. Положим AB=DC=4a
, AD=BC=3a
. Тогда
AK=\frac{9}{16}AB=\frac{9}{4}a,~DM=\frac{3}{8}CD=\frac{3}{2}a,~
AK-DM=\frac{9}{4}a-\frac{3}{2}a=\frac{3}{4}a,~MK=\sqrt{\left(\frac{3}{4}a\right)^{2}+(3a)^{2}}=\frac{3a\sqrt{17}}{4}.
Центр сферы, описанной около тетраэдра, расположен на перпендикуляре, восставленном к плоскости его грани в центре описанной окружности (см. задачу 9056). Значит, точка Q
лежит на перпендикуляре к плоскости основания параллелепипеда, проходящем через середину Y
гипотенузы KL
прямоугольного треугольника BKL
. Аналогично, точка R
лежит на перпендикуляре к плоскости основания параллелепипеда, проходящем через середину Z
гипотенузы ML
прямоугольного треугольника CML
. В то же время, точка Q
равноудалена от вершин B
и B_{1}
, а точка R
— от вершин C
и C_{1}
, значит, эти точки, лежат в плоскости, параллельной плоскости нижнего основания параллелепипеда и проходящей через середины его боковых рёбер (см. задачу 8171). Отрезок YZ
— средняя линия треугольника KLM
, поэтому
QR=YZ=\frac{1}{2}MK=\frac{3a\sqrt{17}}{8}.
Пусть X
— середина гипотенузы KN
прямоугольного треугольника AKN
. Аналогично предыдущему находим, что
PQ=XY=\frac{1}{2}NL=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{7}{4}a-\frac{3}{4}a\right)^{2}+(4a)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+16a^{2}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}.
Значит,
\frac{QR}{PQ}=\frac{\frac{3a\sqrt{17}}{8}}{\frac{a\sqrt{17}}{2}}=\frac{3}{4},
а так как PQ=1
, то QR=\frac{3}{4}
.