9673. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
известны рёбра AB=a
, AD=b
, AA_{1}=c
. Найдите:
а) угол между плоскостями BB_{1}D
и ABC_{1}
;
б) угол между плоскостями AB_{1}D_{1}
и A_{1}C_{1}D
;
в) угол между прямой BD_{1}
и плоскостью A_{1}BD
.
Ответ. а) \arccos\frac{ac}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{b^{2}+c^{2}}}
; б) \arccos\left|\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}\right|
; в) \arcsin\frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат A_{1}xyz
, направив ось A_{1}x
по лучу A_{1}B_{1}
, ось A_{1}y
— по лучу A_{1}D_{1}
, ось A_{1}z
— по лучу A_{1}A
.
а) Уравнение плоскости BB_{1}D
имеет вид \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
, или bx+ay-ab=0
.
Уравнение плоскости ABC_{1}
имеет вид \frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
, или cy+bz-bc=0
.
Пусть угол между плоскостями BB_{1}D
и ABC_{1}
равен \gamma
. Поскольку \overrightarrow{n_{1}}=(b;a;0)
и \overrightarrow{n_{2}}=(0;c;b)
— векторы нормалей этих плоскостей, то
\cos\gamma=\left|\frac{\overrightarrow{n_{1}}\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n^{1}}|\cdot|\overrightarrow{n_{2}}|}\right|=\left|\frac{ac}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}\cdot\sqrt{c^{2}+b^{2}}}\right|=\frac{ac}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{b^{2}+c^{2}}}.
б) Уравнение плоскости AB_{1}D_{1}
имеет вид \frac{x}{y}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564), или bcx+acy+abz-abc=0
.
Уравнение плоскости A_{1}C_{1}D
запишем в виде bcx-acy+abz=0
(легко проверить, что эта плоскость проходит через начало координат A_{1}(0;0;0)
и точки C_{1}(a;b;0)
и D(0;b;c)
).
Пусть угол между плоскостями AB_{1}D_{1}
и A_{1}C_{1}D
равен \varphi
. Поскольку \overrightarrow{k_{1}}=(bc;ac;ab)
и \overrightarrow{k_{2}}=(bc;-ac;ab)
— векторы нормалей этих плоскостей, то
\cos\varphi=\left|\frac{\overrightarrow{k_{1}}\overrightarrow{k_{2}}}{|\overrightarrow{k^{1}}|\cdot|\overrightarrow{k_{2}}|}\right|=\left|\frac{b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}\right|=
=\left|\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}\right|
в) Уравнение плоскости A_{1}BD
запишем в виде bcx+acy-abz=0
(легко проверить, что эта плоскость проходит через начало координат A_{1}(0;0;0)
и точки C_{1}(a;b;0)
и D(0;b;c)
). Вектор \overrightarrow{l}=(bc;ac;-ab)
— вектор нормали этой плоскости, а вектор \overrightarrow{p}=(a;-b;c)
— направляющий вектор прямой BD_{1}
. Пусть \alpha
— угол между этой прямой и плоскостью A_{1}BD
. Тогда
\sin\alpha=\left|\frac{\overrightarrow{l}\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{l}|\cdot|\overrightarrow{p}|}\right|=\left|\frac{abc-abc-abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|=
=\frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.