9684. Отрезок AB=8
пересекает плоскость \alpha
под углом 30^{\circ}
и делится этой плоскостью в отношении 1:3
. Найдите радиус сферы, проходящей через точки A
и B
и пересекающей плоскость \alpha
по окружности наименьшего радиуса.
Ответ. 2\sqrt{7}
.
Решение. Пусть C
— точка пересечения отрезка AB
с плоскостью \alpha
, AC=2
, BC=6
, а MN
— диаметр окружности сечения, проходящий через точку C
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
MC\cdot CN=AC\cdot CB=2\cdot6=12.
Тогда
MN=MC+CM\geqslant2\sqrt{MC\cdot CN}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3},
причём равенство достигается в случае, когда MC=CN=2\sqrt{3}
, т. е. когда MN
— диаметр окружности.
Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O
и прямую AB
. Получим окружность с центром O
, её хорды AB
и MN
, пересекающиеся в середине C
хорды MN
. Поскольку C
— центр окружности сечения сферы плоскостью \alpha
, отрезок OC
— перпендикуляр к плоскости \alpha
, а значит, OC\perp MN
.
Наклонная AB
к плоскости \alpha
образует с этой плоскостью угол 30^{\circ}
, значит, эта наклонная образует с перпендикуляром OC
к этой плоскости угол 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}
.
Пусть P
— проекция точки O
на AB
. Тогда
AP=PB=4,~12=2\cdot6=AC\cdot CB=(4-CP)(4+CP)=16-CP^{2},
откуда CP=2
. В прямоугольном треугольнике CPO
известно, что
\angle OCP=60^{\circ},~\angle COP=30^{\circ},~CP=2,~OC=2CP=4.
Пусть R
— искомый радиус сферы. Тогда
R^{2}-4^{2}=R^{2}-OC^{2}=(R-OC)(R+OC)=AC\cdot CB=2\cdot6=12.
Следовательно,
R=\sqrt{4^{2}+12}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2015, вариант 1, № 5
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 34