9696. Объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен V
. Точки P
, Q
и R
— середины рёбер A_{1}B_{1}
, CC_{1}
и CD
соответственно. Найдите объём пирамиды PQRA
.
Ответ. \frac{1}{24}V
.
Решение. Пусть площадь грани AA_{1}B_{1}B
равна S
, расстояние между плоскостями граней AA_{1}B_{1}B
и CC_{1}D_{1}D
равно h
, угол между прямыми AP
и QR
равен \alpha
, а объём тетраэдра PQRA
равен V'
. Тогда
V=Sh,~V'=\frac{1}{6}AP\cdot QR\cdot h\sin\alpha
(см. задачу 7234), так как расстояние между прямыми AP
и QR
равно h
.
Пусть Q'
и R'
— середины рёбер AB
и BB_{1}
соответственно. Тогда
AB_{1}\parallel Q'R'\parallel QR,~AB_{1}=\frac{1}{2}Q'R'=\frac{1}{2}QR,~\angle PAB_{1}=\alpha,
значит,
\frac{1}{4}S=S_{\triangle APB_{1}}=\frac{1}{2}AP\cdot Q'R'\sin\alpha=\frac{1}{2}AP\cdot2QR\sin\alpha=AP\cdot QR\sin\alpha.
Следовательно,
V'=\frac{1}{6}AP\cdot QR\cdot h\sin\alpha=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4}S\cdot h=\frac{1}{24}Sh=\frac{1}{24}V.