9698. Дан тетраэдр ABCD
, все грани которого являются подобными прямоугольными треугольниками с острыми углами при вершинах A
и B
. Ребро AB
равно 1. Найдите длину наименьшего ребра тетраэдра.
Ответ. \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}
.
Решение. Из условия задачи следует, что углы при вершинах C
и D
треугольников ABC
и ABD
прямые. Пусть
\angle CBD=\alpha,~\angle CDB=\beta,~\alpha+\beta=90^{\circ}.
Тогда \angle BCD=90^{\circ}
, BC
— перпендикуляр к плоскости ACD
, а по теореме о трёх перпендикулярах \angle ADC=90^{\circ}
.
У прямоугольных треугольников DBC
и ABC
общая сторона BC
. Если \angle ABC=\alpha
, то треугольники ABC
и DBC
равны по общему катету и прилежащему острому углу. Тогда BD=AB
, что невозможно, так как AB
— гипотенуза прямоугольного треугольника ABC
. Следовательно, \angle ABC=\beta
, \angle BAC=\alpha
.
Поскольку BAC
— угол между прямой AB
и плоскостью ACD
, то \angle BAC\lt\angle BAD
(см. задачу 7427), поэтому \angle BAD=\beta
, \alpha\lt\beta
и \angle ABD=\alpha
. Если \angle CAD=\beta
, то прямоугольные треугольники ACD
и ABD
равны по общему катету AD
и прилежащему углу. Тогда AC=AB
, что невозможно. Значит, \angle CAD=\alpha
и \angle ACD=\beta
. Тогда CD\lt AD
и CD\lt BC
, так как \alpha\lt\beta
(в треугольниках ACD
и BCD
против большей стороны лежит больший угол); CD\lt AC
, CD\lt BD
и CD\lt BC\lt AB
(катет меньше гипотенузы). Следовательно, CD
— наименьшее ребро тетраэдра ABCD
.
Из треугольников ABC
и ABD
находим, что
AD=AC\cos\alpha=AB\cos^{2}\alpha,~AD=AB\cos\beta.
Таким образом, получаем уравнение \cos\beta=\cos^{2}\alpha
, а так как \alpha+\beta=90^{\circ}
, то \cos\beta=\sin\alpha
, поэтому уравнение примет вид \sin\alpha=\cos^{2}\alpha
, или \sin\alpha=1-\sin^{2}\alpha
, откуда \sin\alpha=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\lt0
, что невозможно, либо \sin\alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}
.
Из равенства \cos\beta=\sin\alpha
следует, что
CD=\cos\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\alpha.
Кроме того, \sin\alpha=\cos^{2}\alpha
и \alpha\lt90^{\circ}
, поэтому \sqrt{\sin\alpha}=\cos\alpha
. Таким образом, CD=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}
.
Примечание. Для ряда вычислений (например, чтобы выяснить расположение плоских углов при вершине A
) можно воспользоваться формулой трёх косинусов (см. задачу 7427).
Тетраэдр, о котором говорится в условии задачи, существует. Это следует, например, из того, что
\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\lt\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin45^{\circ},
т. е. действительно \alpha\lt\beta
. (Обосновывать это от учащихся не требуется.)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, муниципальный тур, № 6, 11 класс