9708. На прямой, проходящей через вершину
A
равностороннего треугольника
ABC
со стороной 1 перпендикулярно плоскости
ABC
, по разные стороны от этой плоскости отложены отрезки
AD=AE=1
. Точка
M
— середина отрезка
BE
. Найдите угол и расстояние между прямыми
DE
и
CM
.
Ответ.
60^{\circ}
;
\frac{1}{2}
.
Решение. Пусть
N
— середина отрезка
AB
. Тогда
MN\parallel AE
как средняя линия треугольника
ABE
. Значит, угол
\alpha
между скрещивающимися прямыми
DE
и
CM
равен углу между пересекающимися прямыми
MN
и
CM
, т. е. углу
CMN
. Тогда
\tg\alpha=\tg\angle CMN=\frac{CN}{MN}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.

Следовательно,
\alpha=60^{\circ}
.
Прямая
DE
параллельна прямой
MN
, лежащей в плоскости
CMN
, поэтому прямая
DE
параллельна этой плоскости. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми
DE
и
CM
равно расстоянию от произвольной точки прямой
DE
(см. задачу 7889), например, от точки
A
, до плоскости
CMN
. Поскольку
AN\perp CN
и
AN\perp MN
, прямая
AN
перпендикулярна плоскости
CMN
. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка
AN
, т. е.
\frac{1}{2}
.