9709. На прямой, проходящей через вершину C
прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
с гипотенузой AB=\sqrt{2}
перпендикулярно плоскости ABC
, по разные стороны от этой плоскости отложены отрезки CD=CE=1
. Точки M
и N
— середины отрезков BD
и BE
соответственно. Найдите угол и расстояние между прямыми CM
и AN
.
Ответ. 90^{\circ}
; \frac{1}{\sqrt{3}}
.
Решение. Треугольники BCE
, ABC
и ACE
равнобедренные и прямоугольные с катетами, равными 1, поэтому BE=AB=AE=\sqrt{2}
. Значит, треугольник ABE
равносторонний. Его медиана AN
является высотой, т. е. AN\perp BE
. Отрезок CM
— средняя линия прямоугольного треугольника BDE
, поэтому CM\parallel BE
, значит, угол между скрещивающимися прямыми CM
и AN
равен углу между пересекающимися прямыми BE
и AN
, т. е. 90^{\circ}
.
Прямая CM
параллельна плоскости ABE
, так как эта прямая параллельна прямой BE
плоскости ABE
. Значит, расстояние между прямыми CM
и AN
равно расстоянию от произвольной точки прямой CM
, например, от точки C
, до плоскости ABE
(см. задачу 7889). Это расстояние равно длине высоты CH
треугольной пирамиды ABEC
. Боковые рёбра CA
, CB
и CE
этой пирамиды равны, а основание ABE
— равносторонний треугольник, значит, пирамида правильная. Тогда
AH=\frac{2}{3}AN=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3},~
CH=\sqrt{CA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.