9717. Основанием треугольной пирамиды SABC
служит правильный треугольник ABC
со стороной 4. Известно, что для произвольной точки M
на продолжении высоты SH
пирамиды (точка S
находится между точками M
и H
) углы MSA
, MSB
, MSC
, ASB
, ASC
и BSC
равны. Построен шар радиуса 1 с центром в точке S
. Найдите объём общей части пирамиды SABC
и шара.
Ответ. \frac{\pi(7\sqrt{6}-9)}{27}
.
Решение. Из равенства углов MSA
, MSB
, MSC
следует равенство смежных с ними углов HSA
, HSB
, HSC
. Значит, прямоугольные треугольники HSA
, HSB
, HSC
равны по катету и прилежащему острому углу. Тогда HA=HB=HC
, т. е. H
— центр равностороннего треугольника ABC
, поэтому пирамиды SABC
и MABC
правильные.
Выберем точку M
так, чтобы MA=4
. Тогда MB=MC=MA=4
, и MABC
— правильный тетраэдр. Его высота MH
равна 4\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040). По условию \angle MSA=\angle ASB\gt90^{\circ}
, а MA=AB
и AS
— общая сторона треугольников ASM
и ASB
, значит, эти треугольники равны (при симметрии относительно прямой AS
они переходят друг в друга). Значит, SM=SA=SB=SC
, т. е. S
— центр описанной сферы правильного тетраэдра MABC
. Тогда расстояние от точки S
до граней этого тетраэдра равно четверти его высоты, т. е. \frac{1}{4}\cdot4\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\lt1
. Таким образом, сфера радиуса 1 с центром S
пересекает грань ABC
тетраэдра SABC
.
Для нахождения объёма общей части пирамиды SABC
и шара радиуса R=1
с центром в точке S
нужно из четверти объёма шара (четырёхгранный угол SMABC
с вершиной S
разбивает всё пространство на четыре равные части) вычесть объём V_{c}
шарового сегмента высотой h=1-\frac{\sqrt{6}}{3}
, т. е.
V_{c}=\pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right)=\pi\left(1-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{6}}{9}\right)=\frac{\pi(18-7\sqrt{6})}{27}.
Следовательно, объём общей части тетраэдра SABCD
и шара равен
\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}\pi-\frac{\pi(18-7\sqrt{6})}{27}=\frac{\pi(7\sqrt{6}-9)}{27}.