9721. Синус двугранного угла при боковом ребре правильной четырёхугольной пирамиды равен \frac{15}{17}
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь её диагонального сечения равна 3\sqrt{34}
.
Ответ. 68.
Решение. Пусть \gamma
— данный в условии линейный угол двугранного угла. Этот угол тупой, поэтому
\cos\gamma=-\sqrt{1-\sin^{2}\gamma}=-\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^{2}}=-\frac{8}{17}.
Тогда
\cos\frac{\gamma}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\gamma}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{8}{17}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{34}}.
Проекция боковой грани на диагональное сечение есть треугольник, площадь которого равна половине площади сечения. Двугранный угол между боковой гранью и диагональным сечением равен \frac{\gamma}{2}
, значит, площадь боковой грани равна площади этой проекции, делённой на \cos\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 8093). Следовательно, площадь боковой поверхности пирамиды равна
4\cdot\frac{\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{34}}{\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{6\sqrt{34}}{\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{6\sqrt{34}}{\frac{3}{\sqrt{34}}}=68.
Источник: Журнал «Квант». — 2018, № 11, с. 54
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2018, отборочный этап, второй тур, № 2