9729. Назовём кубоидом шестигранник, все грани которого — четырёхугольники. Докажите, что если три из четырёх его диагоналей пересекаются в одной точке, то и четвёртая проходит через эту точку.
Указание. Докажите, что четвёртая диагональ пересекает каждую из трёх остальных. Далее см. задачу 8018.
Решение. Покажем, что грани кубоида расположены так же, как и куба (сходятся по три в каждой из восьми его вершин).
Пусть ABCD
— одна из граней («основание»). К её сторонам примыкают ещё четыре грани. Оставшаяся шестая грань примыкает к «верхним» сторонам четырёх боковых граней (противоположным сторонам основания). Следовательно, верхние стороны образуют четырёхугольник, и многогранник выглядит, как показано на рисунке.
Пусть в обозначениях этого рисунка все диагонали, кроме, может быть, AC_{1}
, пересекаются в одной точке. Поскольку диагонали BD_{1}
и B_{1}D
пересекаются, рёбра BB_{1}
и DD_{1}
лежат в одной плоскости и, следовательно, либо прямые BB_{1}
и DD_{1}
пересекаются в некоторой точке P
, либо параллельны. В первом случае точка P
принадлежит плоскостям BAA_{1}B_{1}
и DAA_{1}B_{1}
, а значит, и прямой AA_{1}
их пересечения. Аналогично, прямая CC_{1}
также проходит через точку P
, т. е. все четыре ребра при пересечении пересекаются в точке P
.
Во втором случае плоскости BAA_{1}B_{1}
и DAA_{1}D_{1}
проходят через параллельные прямые BB_{1}
и DD_{1}
, поэтому прямая AA_{1}
их пересечения параллельна этим прямым. Аналогично, прямая CC_{1}
параллельна BB_{1}
, т. е. все четыре ребра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
параллельны.
Аналогично доказывается, что рёбра AB
, DC
, A_{1}B_{1}
и D_{1}C_{1}
либо параллельны, либо при продолжении пересекаются в одной точке (и то же верно для третьей четвёрки AD
, BC
, A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
). Следовательно, AC_{1}
пересекается с BD_{1}
. Кроме того, ясно, что AC_{1}
пересекается с DB_{1}
. Таким образом, четыре диагонали удовлетворяют условию задачи 8018, следовательно, они проходят через одну точку.