9737. В правильной треугольной пирамиде SABC
с вершиной S
проведено сечение через ребро AB
перпендикулярно боковому ребру SC
. Найдите его площадь, если известно, что площадь основания пирамиды равна 3, а площадь каждой боковой грани равна 2.
Ответ. 3\sqrt{\frac{3}{7}}
.
Решение. Опустим перпендикуляр MF
из середины M
ребра AB
на боковой ребро SC
. Тогда треугольник AFB
— сечение, о котором говорится в условии задачи, а FM
— высота этого треугольника. Пусть SO
— высота пирамиды. Тогда O
— центр равностороннего треугольника ABC
, поэтому
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}\cdot3=1,
а так как треугольник AOB
— ортогональная проекция грани ASB
на плоскость основания пирамиды, то косинус двугранного угла пирамиды при ребре AB
равен \frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle ASB}}=\frac{1}{2}
(см. задачу 8093). Значит, \angle OMS=60^{\circ}
.
Обозначим AB=a
, OC=h
. Тогда
OC=2OM=2h,~SM=2h,~SO=h\sqrt{3},~SC=\sqrt{3h^{2}+4h^{2}}=h\sqrt{7}.
Записав двумя способами удвоенную площадь треугольника CSM
, получим, что 3h\cdot h\sqrt{3}=FM\cdot h\sqrt{7}
, откуда FM=\frac{3h\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
. Следовательно,
S_{\triangle AFB}=\frac{1}{2}AB\cdot FM=\frac{1}{2}a\cdot\frac{3h\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{1}{2}ah\cdot3\sqrt{\frac{3}{7}}=
=S_{\triangle AOB}\cdot3\sqrt{\frac{3}{7}}=1\cdot3\sqrt{\frac{3}{7}}=3\sqrt{\frac{3}{7}}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2017, филиал, вариант Ф41, задача 8