9738. Точки A
, B
, C
, D
— вершины тетраэдра. Докажите, что:
а) если \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AB}
, то все три эти скалярные произведения равны 0;
б) если три угла между противоположными рёбрами тетраэдра равны, то они прямые.
Решение. а) Для любых четырёх точек A
, B
, C
, D
справедливо тождество
\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AB}=0
(см. задачу 7257). Значит, 3\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BC}=0
, поэтому \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BC}=0
. Следовательно, остальные два скалярные произведения также равны 0.
б) Пусть угол между противоположными рёбрами тетраэдра равен \alpha
. Тогда углы между векторами \overrightarrow{DA}
и \overrightarrow{BC}
, \overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CA}
, \overrightarrow{DC}
и \overrightarrow{AB}
равны \alpha
или 180^{\circ}-\alpha
. Значит, равенство
\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AB}=0
можно переписать в виде
\cos\alpha(\pm DA\cdot BC\pm DB\cdot CA\pm DC\cdot AB)=0.
Покажем, что выражение в скобках не может равняться нулю, т. е. \cos\alpha=0
и тогда \alpha=90^{\circ}
.
Для этого достаточно показать, что произведение длин любых двух противоположных рёбер тетраэдра строго меньше суммы произведений двух других пар противоположных рёбер, например,
DA\cdot BC\lt DB\cdot CA+DC\cdot AB.
Рассмотрим сферу, проходящую через точки A
, B
, C
и вторично пересекающую рёбра DA
, DB
и DC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Треугольники ABD
и B_{1}A_{1}D
подобны, поэтому A_{1}B_{1}=AB\cdot\frac{DB_{1}}{DA}
. Аналогично, B_{1}C_{1}=BC\cdot\frac{DB_{1}}{DC}
. Разделив первое равенство на второе, получим, что
\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}=\frac{AB\cdot DC}{DA\cdot BC}.
Значит, стороны треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
пропорциональны произведениям противоположных рёбер тетраэдра, поэтому неравенство
DA\cdot BC\lt DB\cdot CA+DC\cdot AB.
следует из неравенства треугольника для A_{1}B_{1}C_{1}
.
Примечание. Тетраэдр, противоположные рёбра которого попарно перпендикулярны, является ортоцентрическим, т. е. прямые, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (см. задачу 7807).