9740. В основании прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежит ромб ABCD
с углом \angle A=60^{\circ}
. Все рёбра призмы равны 1. Точка F
— середина ребра DC
, а точка M
лежит на прямой A_{1}F
. Найдите наименьшее возможное значение суммы площадей треугольников MBB_{1}
и MCC_{1}
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{\frac{13}{7}}
.
Решение. Пусть MK
и ML
— высоты треугольников MBB_{1}
и MCC_{1}
соответственно, M_{1}
— проекция точки M
на плоскость ABC
. Тогда M_{1}B=MK
, MC_{1}=ML
, поэтому
S_{\triangle MBB_{1}}+S_{\triangle MCC_{1}}=\frac{1}{2}BB_{1}\cdot MK+\frac{1}{2}CC_{1}\cdot ML=
=\frac{1}{2}(MK+ML)=\frac{1}{2}(M_{1}B+M_{1}C).
Сумма M_{1}B+M_{1}C
принимает наименьшее значение, если M_{1}
— точка пересечения прямых AF
и BE
, где E
— точка, симметричная точке C
относительно прямой AF
(см. задачу 5004).
Пусть DN
— высота треугольника ADF
, K
— середина отрезка CD
. Из равенства прямоугольных треугольников DNF
и CKF
(по гипотенузе и острому углу) следует, что DN=CK
, а так как
\angle AFB=180^{\circ}-\angle BFC-\angle CFK=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle DFN=\angle KFE,
то точки B
, F
и E
лежат на одной прямой.
Обозначим \angle ECF=\varphi
. По теореме косинусов
BE^{2}=BC^{2}+CE^{2}-2BC\cdot CE\cos\angle BCE=1+CE^{2}-2CE\cos(60^{\circ}+\varphi),
а так как CE=2DN
, \angle ECF=\angle NDF
и
DN=\frac{2S_{\triangle ADF}}{AF}=\frac{AD\cdot DF\sin120^{\circ}}{\sqrt{AD^{2}+DF^{2}-2AD\cdot DF\cos120^{\circ}}}=
=\frac{1\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\sqrt{1+\frac{1}{2}-2\cdot1\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}},
то
\cos\varphi=\frac{DN}{DF}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}},~\sin\varphi=\frac{2}{\sqrt{7}},~CE=2DN=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Значит,
BE=\sqrt{1+CE^{2}-2CE\cos(60^{\circ}+\varphi)}=
=\sqrt{1+\frac{3}{7}-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}\right)}=\sqrt{\frac{13}{7}}.
Следовательно, наименьшее возможное значение суммы площадей треугольников MBB_{1}
и MCC_{1}
равно \frac{1}{2}\sqrt{\frac{13}{7}}
.
Примечание. См. статью П.Горнштейна, В.Полонского и М.Якира «Геометрические решения экстремальных геометрических задач», Квант, 1992, N9, с.59-63.