9742. Все четыре грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, с боковой стороной, равной \sqrt{3}
. Найдите основания этих треугольников, если известно, что объём пирамиды равен \frac{2}{3}
.
Ответ. 2
.
Решение. Пусть основание каждого из четырёх треугольников равно a
. Заметим, что a\ne\sqrt{3}
, так как тогда данная пирамида — правильный тетраэдр, и его объём равен
\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{6}}{4}\ne\frac{2}{3}
(см. задачу 8641).
Пусть ребро AB
данной пирамиды равно a\ne\sqrt{3}
. Тогда возможен только один вариант: AB=CD=a
, AC=BC=AD=BD=\sqrt{3}
.
Пусть DH=h
— высота пирамиды, CM=DM=d
— высоты и медианы граней ABC
и ABD
, MF
— высота и медиана равнобедренного треугольника CMD
. Из равенства CM\cdot DH=CD\cdot MF
(см. задачу 1967) находим, что
h=DH=\frac{CD\cdot MF}{CM}=\frac{a\sqrt{d^{2}-\frac{a^{2}}{4}}}{d}.
Тогда
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ad\cdot h=\frac{1}{6}adh=\frac{1}{6}ad\cdot\frac{a\sqrt{d^{2}-\frac{a^{2}}{4}}}{d}=
=\frac{1}{6}a^{2}\sqrt{\left(3-\frac{a^{2}}{4}\right)-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{1}{6}a^{2}\sqrt{3-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
a^{2}\sqrt{3-\frac{a^{2}}{2}}=4~\Rightarrow~3a^{4}\left(3-\frac{a^{2}}{2}\right)=16~\Rightarrow~
~\Rightarrow~a^{6}-6a^{4}+32=0~\Rightarrow~(a^{2}-4)^{2}(a^{2}+2)=0~\Rightarrow~a=2.