9745. Ребро AA_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярно его грани ABCD
. Сфера касается рёбер BB_{1}
, B_{1}C_{1}
, CC_{1}
, BC
, CD
и при этом касается ребра CD
в такой точке K
, что CK=9
, KD=1
.
а) Найдите длину ребра AA_{1}
.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера касается ребра A_{1}D_{1}
. Найдите объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и радиус сферы.
Ответ. а) AA_{1}=18
, б) V=1944
, R=3\sqrt{10}
.
Решение. а) Из условия следует, что ребро BB_{1}
перпендикулярно плоскости ABC
, поэтому BB_{1}\perp BC
и грань BCC_{1}B_{1}
— прямоугольник. В этот прямоугольник можно вписать окружность (сечение сферы плоскостью BCC_{1}
), значит, эта грань — квадрат.
Пусть F
— точка касания сферы с ребром BC
. Отрезки CK
и CF
равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F
— середина BC
и
BC=2CF=2CK=2\cdot9=18.
Значит,
AA_{1}=CC_{1}=BC=18.
б) Центр сферы расположен на прямой, перпендикулярной плоскости квадрата BCC_{1}B_{1}
и проходящей через его центр, поэтому он равноудалён от прямых AD
и A_{1}D_{1}
. Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго.
Обозначим точку касания сферы с ребром AD
через M
, а центр окружности, получающейся в сечении сферы плоскостью ABCD
, через O
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому (см. задачу 2728)
\angle OCD+\angle ODC=\frac{1}{2}(\angle FCD+\angle MDC)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Таким образом, треугольник OCD
прямоугольный, а OK
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
OK=\sqrt{CK\cdot DK}=\sqrt{9\cdot1}=3.
Площадь параллелограмма ABCD
равна
S_{ABCD}=BC\cdot FM=BC\cdot2OK=18\cdot6=108.
Объём параллелепипеда равен
V=AA_{1}\cdot S_{ABCD}=18\cdot108=1944.
Пусть Q
— центр сферы. Тогда QK
— её радиус. При этом треугольник OKQ
прямоугольный. Следовательно,
QK=\sqrt{OK^{2}+OQ^{2}}=\sqrt{OK^{2}+\frac{1}{4}AA_{1}^{2}}=\sqrt{3^{2}+9^{2}}=3\sqrt{10}.