9746. На ребре BC
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
выбрана точка M
. Сфера, построенная на отрезке C_{1}M
как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них — в точке, лежащей на ребре BB_{1}
. Известно, что BM=1
, CM=24
. Найдите длину ребра AA_{1}
, радиус сферы и объём параллелепипеда.
Ответ. AA_{1}=26
, R=5
, V=1250
.
Решение. Центр сферы (середина отрезка C_{1}M
) лежит в грани BCC_{1}B_{1}
, значит, сфера этой грани не касается. Заметим, что если отрезок C_{1}M
не перпендикулярен плоскостям ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, то сфера их не касается, что невозможно, так как по условию сфера касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда. Следовательно, сфера касается этих двух плоскостей.
Отметим далее, что сфера не может касаться грани CC_{1}D_{1}D
, так как в противном случае MC_{1}
была бы перпендикулярна плоскости CC_{1}D_{1}
, и отсюда следовало бы, что плоскости CC_{1}D_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
совпадают, поскольку через точку C_{1}
проходит единственная плоскость, перпендикулярная прямой C_{1}M
(см. задачу 7703).
Таким образом, сфера касается граней ABCD
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, AA_{1}D_{1}D
и ABB_{1}A_{1}
, притом последней — в точке, лежащей на ребре BB_{1}
. Обозначим её T
.
Противоположные стороны параллелограмма BB_{1}C_{1}C
равны, следовательно,
B_{1}C_{1}=BC=BM+M=1+24=25.
Ясно, что сфера касается грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точке C_{1}
, а грани ABCD
— в точке M
. Используя равенство касательных, проведённых к сфере из одной точки, находим, что
B_{1}T=B_{1}C_{1}=25,~BT=BM=1.
Значит,
AA_{1}=CC_{1}=BB_{1}=BT+TB_{1}=26.
Треугольник CC_{1}M
прямоугольный с прямым углом при вершине M
, так как диаметр C_{1}M
сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости ABCD
. По теореме Пифагора находим,что
C_{1}M=\sqrt{CC_{1}^{2}-CM^{2}}=10,
откуда радиус сферы равен 5.
Объём V
параллелепипеда равен произведению площади S
его основания на высоту. В качестве основания выберем BCC_{1}B_{1}
. Тогда высота равна радиусу сферы (так как центр сферы лежит в грани BCC_{1}B_{1}
и она касается грани AA_{1}D_{1}D
), а
S=C_{1}M\cdot BC=10\cdot25=250.
Следовательно,
V=S\cdot C_{1}M=250\cdot5=1250.
Источник: Журнал «Квант». — 2018, № 9, с. 40, задача 7
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2018, вариант 2, задача 7, 11 класс