9763. В основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб. Основание высоты пирамиды — точка пересечения диагоналей ромба. Докажите, что для любой точки на основании пирамиды сумма расстояний до двух противолежащих боковых граней равна сумме расстояний до двух других боковых граней.
Решение. Пусть ромб ABCD
— основание пирамиды SABCD
с вершиной S
, O
— точка пересечения диагоналей основания, M
произвольная точка, лежащая внутри основания. Тогда сумма площадей треугольников AMB
и CMD
равна сумме площадей треугольников AMD
и BMC
(это верно для любого параллелограмма, см. задачу 3016). Значит, сумма объёмов пирамид SAMB
и SCMD
с общей высотой SO
, равна сумме объёмов пирамид SAMD
и SBMC
с общей высотой SO
.
Пусть d_{1}
, d_{2}
, d_{3}
, d_{4}
— расстояния то точки M
до граней ASB
, BSC
, CSD
, ASD
соответственно. Тогда сумма объёмов пирамид SAMB
и SCMD
равна \frac{1}{3}(S_{1}d_{1}+S_{3}d_{3})
, а сумма объёмов пирамид SAMD
и SBMC
равна \frac{1}{3}(S_{2}d_{2}+S_{4}d_{4})
, где S_{1}=S_{3}
— площади равных боковых граней ASB
и CSD
, а S_{2}=S_{4}
— площади равных боковых граней ASD
и BSC
.
Докажем, что S_{1}=S_{2}
. Действительно, пусть P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на рёбра AB
и BC
соответственно. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах SP
и SQ
— высоты треугольников ASB
и BSC
. Поскольку точка O
равноудалена от всех сторон ромба, OP=OQ
. Значит, прямоугольные треугольники SOP
и SOQ
равны по двум катетам. Тогда равны гипотенузы SP
и SQ
, а значит, и площади S_{1}
и S_{2}
треугольников с равными основаниями AB
и BC
и равными высотами SP
и SQ
.
Таким образом, все боковые грани пирамиды SABCD
равновелики, т. е. S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}
. Значит, из равенства
\frac{1}{3}(S_{1}d_{1}+S_{3}d_{3})=\frac{1}{3}(S_{2}d_{2}+S_{4}d_{4})
следует равенство
\frac{1}{3}S_{1}(d_{1}+d_{3})=\frac{1}{3}S_{1}(d_{2}+d_{4}),
откуда получаем, что
d_{1}+d_{3}=d_{2}+d_{4}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1998, № 148, с. 60, 11 класс, задача 3