9769. В тетраэдре ABCD
медиана AE
грани ABC
перпендикулярна ребру BD
, а медиана AF
грани ABD
перпендикулярна ребру BC
. Докажите, что ребро AB
перпендикулярно ребру CD
.
Указание. Примените скалярное произведение векторов.
Решение. Пусть \overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}
, \overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}
, \overrightarrow{d}=\overrightarrow{AD}
. Тогда
\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b},~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b},~\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}.
Векторы, идущие по медианам, равны
\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~\mbox{и}~\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})
(см. задачу 4500).
Условия AE\perp BD
и AF\perp BC
переписываются в терминах скалярного произведения:
(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})=0~\mbox{и}~(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=0.
Раскрыв скобки и вычтя из первого равенства второе, получим, что 2(\overrightarrow{b}\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})=0
, т. е. \overrightarrow{b}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})=0
, или \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0
. Это и значит, что векторы \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
перпендикулярны.
Автор: Голованов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2017, первый тур, 11 класс