9770. Сечение куба плоскостью — пятиугольник. Докажите, что площадь этого пятиугольника меньше произведения самых длинных его сторон.
Решение. Противоположные грани куба попарно параллельны, поэтому у пятиугольника сечения есть две пары параллельных сторон (см. задачу 8009). Пусть в пятиугольнике ABCDF
сторона BC
параллельна стороне AF
, а сторона AB
— стороне CD
. Достроим пятиугольник до параллелограмма ABCF
, продлив его стороны CD
и AF
до пересечения в точке E
. Тогда
S_{ABCDF}\lt S_{ABCE}=AB\cdot BC\sin\angle ABC\leqslant AB\cdot BC.
Осталось заметить что произведение AB\cdot CD
меньше произведения двух наибольших сторон пятиугольника ABCDF
.