9771. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
— середины рёбер SA
, SB
, SC
, SD
пирамиды SABCD
. Известно, что отрезки AC_{1}
, BD_{1}
, CA_{1}
, DB_{1}
равны и проходят через одну точку. Докажите, что ABCD
— прямоугольник.
Решение. В треугольнике ASC
медианы AC_{1}
и CA_{1}
пересекаются в точке P
, значит, прямая SP
проходит через середину O
диагонали AC
четырёхугольника ABCD
. Аналогично, рассматривая треугольник BCD
, получаем, что прямая SP
проходит через ту же точку O
, которая также является серединой диагонали BD
четырёхугольника ABCD
. Таким образом, диагонали четырёхугольника ABCD
делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Отрезок SO
— общая медиана треугольников ASC
и BSD
, а так как AC_{1}=BD_{1}
и CA_{1}=DB_{1}
, то треугольники ASC
и BSD
равны по трём медианам (см. задачу 1048), значит AC=BD
. Диагонали параллелограмма ABCD
равны, следовательно, это прямоугольник.