9778. Сфера касается каждого из боковых рёбер SA
, SB
и SC
треугольной пирамиды SABC
, а также касается её основания в центре описанной около него окружности. Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды.
Решение. Пусть сфера с центром O
касается рёбер SA
, SB
и SC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, а основания ABC
— в точке P
— центре описанной около него окружности. Тогда по теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к сфере из одной точки
AA_{1}=AP,~BB_{1}=BP,~CC_{1}=CP,~SA_{1}=SB_{1}=SC_{1},
поэтому SA=SB=SC
. Тогда высота пирамиды SABC
проходит через точку P
(см. задачу 7163), т. е. прямая SP
перпендикулярна плоскости ABC
.
С другой стороны, радиус OP
сферы перпендикулярен плоскости основания — касательной плоскости к сфере, а так как через точку P
проходит единственная прямая, перпендикулярная плоскости ABC
, то точка O
лежит на высоте пирамиды.