9779. Середина ребра SA
треугольной пирамиды SABC
равноудалена от всех вершин пирамиды. Пусть SH
— высота пирамиды. Докажите, что
BA^{2}+BH^{2}=CA^{2}+CH^{2}.
Решение. Медиана BM
треугольника ABS
равна половине стороны SA
, поэтому SB\perp AB
(см. задачу 1188). Отрезок HB
— ортогональная проекция на плоскость ABC
наклонной SB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах HB\perp BA
. Аналогично, CH\perp CA
. Из прямоугольных треугольников ABH
и ACH
получаем, что
BA^{2}+BH^{2}=AH^{2}=CA^{2}+CH^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2015, № 694, с. 163, 11 класс, задача 4
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2015, I, 11 класс, задача 4