9780. Около основания n
-угольной пирамиды можно описать окружность. Известно, что центр этой окружности равноудалён от всех середин боковых рёбер пирамиды. Докажите, что все боковые рёбра пирамиды равны.
Решение. Первый способ. Пусть M_{1}
, M_{2}
, …, M_{n}
— середины боковых рёбер соответственно SA_{1}
, SA_{2}
, …, SA_{n}
пирамиды SA_{1}A_{2}\dots A_{n}
с вершиной S
. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что точки M_{1}
, M_{2}
, …, M_{n}
лежат в одной плоскости, обозначим её \alpha
, причём эта плоскость параллельна плоскости основания пирамиды.
Пусть O
— центр окружности радиуса R
описанной около основания, Q
— точка пересечения отрезка SO
с плоскостью \alpha
. Тогда QM_{1}
— средняя линия треугольника SA_{1}O
, поэтому QM_{1}=\frac{R}{2}
. Аналогично,
QM_{2}=QM_{3}=\dots=QM_{n}=\frac{R}{2}.
Следовательно, точка Q
равноудалена от вершин многоугольника M_{1}M_{2}\dots M_{n}
, т. е. Q
— центр его описанной окружности.
По условию боковые рёбра OM_{1}
, OM_{2}
, …, OM_{n}
n
-угольной пирамиды OM_{1}M_{2}\dots M_{n}
с вершиной O
равны, поэтому её высота проходит через центр Q
окружности, описанной около основания M_{1}M_{2}\dots M_{n}
(см. задачу 7163). Таким образом SQ
— перпендикуляр к плоскости \alpha
, а значит, — и к параллельной ей плоскости основания исходной пирамиды. Точки S
, Q
и O
лежат на одной прямой, поэтому SO
— высота исходной пирамиды. Тогда из равенства прямоугольных треугольников SOA_{1}
, SOA_{2}
, …, SOA_{n}
по двум катетам следует, что
SA_{1}=SA_{2}=\dots=SA_{n}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть M_{1}
, M_{2}
, …, M_{n}
— середины боковых рёбер соответственно SA_{1}
, SA_{2}
, …, SA_{n}
пирамиды SA_{1}A_{2}\dots A_{n}
с вершиной S
. При гомотетии с центром S
и коэффициентом \frac{1}{2}
, точки A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
переходят в точки соответственно M_{1}
, M_{2}
, …, M_{n}
, плоскость основания исходной пирамиды переходит в параллельную ей плоскость основания пирамиды SM_{1}M_{2}\dots M_{n}
с вершиной S
, а центр O
описанной окружности многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
— в центр Q
описанной окружности многоугольника M_{1}M_{2}\dots M_{n}
.
По условию боковые рёбра OM_{1}
, OM_{2}
, …, OM_{n}
n
-угольной пирамиды OM_{1}M_{2}\dots M_{n}
с вершиной O
равны, поэтому её высота проходит через центр Q
окружности, описанной около основания M_{1}M_{2}\dots M_{n}
(см. задачу 7163), а так как точки S
, Q
и O
лежат на одной прямой и OQ
— перпендикуляр к плоскости M_{1}M_{2}\dots M_{n}
, параллельной плоскости A_{1}A_{2}\dots A_{n}
, то SO
— высота исходной пирамиды. Таким образом, высота этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. Следовательно, боковые рёбра этой пирамиды равны. Что и требовалось доказать.