9781. Дана треугольная пирамида SABC
. На рёбрах SA
, SB
и SC
выбраны точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно так, что отрезки BA_{1}
и CA_{1}
— биссектрисы треугольников BSA
и CSA
соответственно, отрезки AB_{1}
и CB_{1}
— биссектрисы треугольников ASB
и CSB
соответственно, а отрезки AC_{1}
и BC_{1}
— биссектрисы треугольников ASC
и BSC
соответственно. Пусть SH
— высота пирамиды. Докажите, что если BC\gt CA\gt AB
, то BC\cdot HA\lt CA\cdot HB\lt AB\cdot HC
.
Решение. Обозначим
BC=a,~AC=b,~AB=a,~SA=a_{1},~SB=b_{1},~SC=c_{1},~SH=h.
Достаточно доказать, что
BC^{2}\cdot HA^{2}\lt CA^{2}\cdot HB^{2}\lt AB^{2}\cdot HC^{2}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{b_{1}}{c}=\frac{BS}{AB}=\frac{SA_{1}}{AA_{1}}=\frac{SC}{AC}=\frac{c_{1}}{b},
откуда bb_{1}=cc_{1}
. Аналогично, aa_{1}=cc_{1}
, значит,
aa_{1}=bb_{1}=cc_{1}.
По теореме Пифагора
HA^{2}=SA^{2}-SH^{2}=a_{1}^{2}-h^{2},~HB^{2}=b_{1}^{2}-h^{2},~HC^{2}=c_{1}^{2}-h^{2}.
Тогда, учитывая равенство aa_{1}=bb_{1}=cc_{1}
, получаем, что
a\gt b\gt c~\Rightarrow~a^{2}h^{2}\gt b^{2}h^{2}\gt c^{2}h^{2}~\Rightarrow~-a^{2}h^{2}\lt-b^{2}h^{2}\lt-c^{2}h^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~a^{2}a_{1}^{2}-a^{2}h^{2}\lt b^{2}b_{1}^{2}-b^{2}h^{2}\lt c^{2}c_{1}^{2}-c^{2}h^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}(a_{1}^{2}-h^{2})\lt b^{2}(b_{1}^{2}-h^{2})\lt c^{2}(c_{1}^{2}-h^{2})~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~BC^{2}\cdot HA^{2}\lt CA^{2}\cdot HB^{2}\lt AB^{2}\cdot HC^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2016, № 729, с. 167, 11 класс, задача 4