9782. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит параллелограмм ABCD
. На рёбрах SA
, SB
, AC
и SD
выбраны соответственно точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
так, что отрезки AC_{1}
, BD_{1}
, CA_{1}
и DB_{1}
проходят через одну точку. Докажите, что если точка A_{1}
— середина ребра SA
, то B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— середины рёбер SB
, SC
и SD
.
Решение. Пересекающиеся прямые CA_{1}
и DB_{1}
лежат в одной плоскости. Эта плоскость и плоскость ASB
пересекаются и проходят через параллельные прямые соответственно CD
и AB
. Значит, прямая A_{1}B_{1}
пересечения плоскостей параллельна AB
(см. задачу 8004), а так как A_{1}
— середина ребра SA
, то по теореме Фалеса B_{1}
— середина ребра SB
. Аналогично, точка C_{1}
— середина ребра SC
, а D_{1}
— середина ребра SD
.