9789. В тетраэдре ABCD
дано: AB=6
, CD=8
, а каждое из остальных рёбер равно \sqrt{74}
. Найдите радиус описанного шара.
Ответ. 5.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Центр O
описанного шара данного тетраэдра — точка пересечения прямой, проходящей через центр O_{1}
описанной окружности грани ABC
перпендикулярно плоскости ABC
, и прямой проходящей через центр O_{2}
описанной окружности грани ABD
перпендикулярно плоскости ABD
(см. задачу 9056). Эти прямые пересекаются, так как обе они лежат в плоскости CMD
.
Треугольники ABC
и ABD
равны по трём сторонам, значит, равны и радиусы их описанных окружностей. Обозначим их R_{1}
. Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому CM
— его медиана и высота. Тогда
CM=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=\sqrt{74-9}=\sqrt{65},~
\sin\angle CAB=\sin\angle CAM=\frac{CM}{AC}=\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{74}}.
По теореме синусов
R_{1}=\frac{BC}{2\sin\angle CAB}=\frac{\sqrt{74}}{\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{74}}}=\frac{37}{\sqrt{65}}.
Треугольники ABC
и ABD
остроугольные, поэтому центры O_{1}
и O_{2}
их описанных окружностей лежат на отрезках CM
и DM
. Тогда
O_{2}M=O_{1}M=CM-O_{1}C=CM-R_{1}=\sqrt{65}-\frac{37}{\sqrt{65}}=\frac{28}{\sqrt{65}}.
Треугольник CMD
равнобедренный, поэтому его медиана MN
является высотой, значит,
MN=\sqrt{CM^{2}-CN^{2}}=\sqrt{65-16}=7.
Из прямоугольного треугольника OO_{1}M
находим, что
OO_{1}=O_{1}M\tg\angle OMO_{1}=O_{1}M\tg\angle CMN=O_{1}M\cdot\frac{CN}{CM}=\frac{28}{\sqrt{65}}\cdot\frac{4}{7}=\frac{16}{\sqrt{65}}.
Пусть искомый радиус описанного шара тетраэдра равен R
. Тогда из прямоугольного треугольника OO_{1}B
находим, что
R=OB=\sqrt{OO_{1}^{2}+O_{1}B^{2}}=\sqrt{OO_{1}^{2}+R_{1}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{16}{\sqrt{65}}\right)^{2}+\left(\frac{16}{\sqrt{37}}\right)^{2}}=
=\sqrt{\frac{256+1369}{65}}=\sqrt{\frac{1625}{65}}=\sqrt{25}=5.