9791. В основании пирамиды с равными боковыми рёбрами находится параллелограмм, стороны которого равны 30 и 12. Высота пирамиды равна 8. В каждый из двугранных углов при основании пирамиды вписано по равному шару так, что каждый шар касается двух соседних, и точки касания шаров с плоскостью основания лежат на прямых, проходящих через середины его сторон. Найдите радиусы шаров.
Ответ. \frac{3}{4}(6\pm\sqrt{7})
.
Решение. Боковые рёбра данной пирамиды SABCD
равны, поэтому её высота SH
проходит через центр окружности, описанной около основания ABCD
(см. задачу 7163), но параллелограмм, около которого можно описать окружность, — прямоугольник, а высота проходит через точку пересечения его диагоналей.
Пусть O_{1}'
, O_{2}'
, O_{3}'
и O_{4}'
— точки касания шаров искомого радиуса r
с центрами соответственно O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
с плоскостью основания, а K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, DA
основания, причём точки O_{1}'
и O_{3}'
лежат на отрезках KH
и MH
соответственно, а точки O_{2}'
и O_{4}'
— на отрезках LH
и NH
соответственно (либо на продолжениях этих отрезков). При этом KM\perp LN
, так как эти отрезки соответственно параллельны сторонам прямоугольника. Рассмотрим случай, когда указанные точки лежат на отрезках, а не на их продолжениях.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью KSM
. Пусть \angle SMK=\angle SKM=2\alpha
. Тогда
\tg2\alpha=\frac{SH}{KH}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.
По формуле для тангенса двойного аргумента
\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha},~\mbox{или}~\frac{4}{3}=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}.
Из этого уравнения находим, что \tg\alpha=\frac{1}{2}
, а так как KO_{1}
— биссектриса угла SKH
, то
KO_{1}'=O_{1}O_{1}'\cdot\ctg\alpha=2r,~HO_{1}'=6-2r.
Аналогично, MO_{3}'=6-2r
.
Пусть \angle SNL=\angle SLN=2\beta
. Так же, рассматривая сечение пирамиды плоскостью SLN
, находим, что
\tg\beta=\frac{1}{4},~NO_{4}'=LO_{2}'=15-4r.
Четырёхугольник O_{1}'O_{2}'O_{3}'O_{3}'
— ромб со сторонами 2r
, его диагонали O_{1}'O_{3}'
и O_{2}'O_{4}'
перпендикулярны, а их половины равны HO_{1}'=6-2r
и HO_{2}'=15-4r
. По теореме Пифагора
HO_{1}'^{2}+HO_{2}'^{2}=O_{1}'O_{2}'^{2},~\mbox{или}~(6-2r)^{2}+(15-4r)^{2}=4r^{2}~\Leftrightarrow~16r^{2}-144r+261=0.
Откуда находим, что r=\frac{3}{4}(6\pm\sqrt{7})
, причём знак минус соответствует случаю, когда точки O_{1}'
и O_{3}'
лежат на отрезках KH
и MH
соответственно, а точки O_{2}'
и O_{4}'
— на отрезках LH
и NH
соответственно, а знак плюс — когда эти точки лежат на продолжениях указанных отрезков.