9792. На рёбрах DA
, DB
и DC
тетраэдра ABCD
отмечены точки K
, M
и N
соответственно, причём AK:KD=1:2
и BM:MD=CN:ND=1:1
. Точки E
и F
лежат на прямых CM
и BK
соответственно, причём EF\parallel AN
. Найдите отношение EF:AN
.
Ответ. 2:5
.
Решение. Первый способ. Заметим, что отрезок EF
, удовлетворяющий условию задачи, единственный, так как в противном случае, прямые CM
и BK
не были бы скрещивающимися.
Отметим на ребре BD
точку P
между B
и M
. Обозначим DM=BM=q
, MP=p
. Пусть отрезки PN
и CM
пересекаются в точке X
, а отрезки AP
и BK
— в точке Y
. Предположим, что XY\parallel AN
. Тогда NX:XP=AY:YP
.
По теореме Менелая для треугольника MDN
и прямой CM
получаем, что
\frac{PM}{MD}\cdot\frac{DC}{CN}\cdot\frac{NX}{XP}=1,
откуда
\frac{p}{q}=\frac{PM}{MD}=\frac{CN}{DC}\cdot\frac{XP}{NX}=\frac{1}{2}\cdot\frac{XP}{NX}.
По теореме Менелая для треугольника ADP
и прямой BK
получаем, что
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AY}{YP}\cdot\frac{PB}{BD}=1,
откуда
\frac{q-p}{2q}=\frac{PB}{BD}=\frac{KA}{DK}\cdot\frac{YP}{AY}=\frac{1}{2}\cdot\frac{YP}{AY}=\frac{1}{2}\cdot\frac{XP}{NX}.
Значит, \frac{p}{q}=\frac{q-p}{2q}
, откуда q=3p
, поэтому
\frac{YP}{AY}=\frac{XP}{NX}=\frac{2p}{q}=\frac{2p}{3p}=\frac{2}{3}.
Из единственности точки X
и Y
совпадают с точками E
и F
соответственно. Следовательно, \frac{EF}{AN}=\frac{XY}{AN}=\frac{2}{5}
. Из единственности также следует, что точка P
действительно лежит между B
и M
.
Второй способ. Обозначим \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}
, \frac{EM}{CE}=\lambda
, \frac{FK}{FB}=\mu
. Тогда
\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c},
\overrightarrow{DE}=(1-\lambda)\overrightarrow{DM}+\lambda\overrightarrow{DC}=(1-\lambda)\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\lambda\overrightarrow{c},
\overrightarrow{DF}=\mu\overrightarrow{DB}+(1-\mu)\overrightarrow{DK}=\mu\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}(1-\mu)\overrightarrow{a}
(см. задачу 4186). Значит,
\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DE}=\mu\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}(1-\mu)\overrightarrow{a}-(1-\lambda)\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\lambda\overrightarrow{c}=
=\frac{2}{3}(1-\mu)\overrightarrow{a}+\left(\mu+\frac{1}{2}\lambda-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{b}-\lambda\overrightarrow{c}.
Векторы \overrightarrow{EF}
и \overrightarrow{AN}
коллинеарны, поэтому коэффициенты их разложений по трём некомпланарным векторам \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
пропорциональны, значит,
\mu+\frac{1}{2}\lambda-\frac{1}{2},~\frac{\frac{2}{3}(1-\mu)}{-1}=\frac{-\lambda}{\frac{1}{2}},
или
\syst{2\mu+\lambda=1\\\mu+3\lambda=1\\}
Из этой системы находим \lambda=\frac{1}{5}
и \mu=\frac{2}{5}
. Тогда
\overrightarrow{EF}=\frac{2}{5}\left(\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\right),
а так как
\overrightarrow{NA}=-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{c},
то \frac{EF}{AN}=\frac{2}{5}
.