9794. На ребре AD
и диагонали CA_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отмечены точки M
и N
соответственно, причём AM:MD=1:4
, а прямая MN
параллельна плоскости BC_{1}D
. Найдите отношение CN:NA_{1}
.
Ответ. 3:2
.
Решение. Поскольку прямая MN
должна быть параллельной плоскости BC_{1}D
, она лежит в плоскости \alpha
, проведённой через точку M
параллельно плоскости BC_{1}D
. Значит, N
— точка пересечения прямой CA_{1}
с плоскостью \alpha
.
Пусть плоскость \alpha
пересекает диагонали AC
и A_{1}C_{1}
граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точках P
и K
соответственно, а O
— центр параллелограмма ABCD
. Тогда MP\parallel BD
и PK\parallel OC_{1}
(см. задачу 8009)
Положим AP=x
, PO=4x
. Тогда OC=OA=5x
, поэтому A_{1}C_{1}=AC=10x
. Рассмотрим параллелограмм AA_{1}C_{1}C
. Пусть отрезки OC_{1}
и CA_{1}
пересекаются в точке Q
. По теореме Фалеса CQ:QN=5:4
, а так как POC_{1}K
— параллелограмм, то C_{1}K=OP=4x
. Тогда A_{1}K=6x
. Из подобия треугольников CNP
и A_{1}NK
находим, что
CN:NA_{1}=CP:A_{1}K=9x:6x=3:2.