9795. Основание призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— трапеция ABCD
(BC\parallel AD
). Точка M
— середина ребра AB
. На диагонали AC_{1}
отметили точку N
так, что прямая MN
параллельна плоскости BA_{1}D
. Найдите отношение AN:NC_{1}
, если известно, что AD:BC=2:1
.
Ответ. 1:4
.
Решение. Поскольку прямая MN
параллельна плоскости BA_{1}D
, она лежит в плоскости \alpha
, параллельной плоскости BA_{1}D
. Плоскость \alpha
пересекает плоскость основания ABCD
по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно диагонали BD
трапеции ABCD
(см. задачу 8009).
Пусть прямая l
пересекает AC
в точке P
. Тогда плоскость AA_{1}C_{1}C
пересекает плоскости \alpha
и BA_{1}D
по параллельными прямым PK
и OA_{1}
.
Пусть O
— точка пересечения диагоналей трапеции ABCD
. Из подобия треугольников AOD
и COB
получаем, что AO:OC=AD:BC=2:1
.
Рассмотрим параллелограмм AA_{1}C_{1}C
. Пусть отрезки AC_{1}
и OA_{1}
пересекаются в точке Q
. По теореме Фалеса P
— середина AO
. Пусть прямые PK
и A_{1}C_{1}
пересекаются в точке Q
. Из равенства треугольников A_{1}KQ
и AKP
следует, что A_{1}Q=AP
.
Положим A_{1}C_{1}=AC=3x
. Тогда AO=2x
, A_{1}Q=AP=x
, C_{1}Q=4x
. Из подобия треугольников ANP
и C_{1}NQ
находим, что
AN:NC_{1}=AP:C_{1}Q=x:4x=1:4.