9796. На рёбрах BC
и A_{1}D_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отметили соответственно точки M
и N
так, что BM=MC
, A_{1}N:ND_{1}=1:3
.
1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку N
и параллельной плоскости AB_{1}M
.
2) В каком отношении секущая плоскость делит ребро B_{1}C_{1}
, считая от точки B_{1}
?
Ответ. 3:1
.
Решение. Секущая плоскость и плоскость AB_{1}M
параллельны, поэтому плоскость ABCD
пересекает их по параллельным прямым (см. задачу 8000). В то же время секущая плоскость пересекает параллельные плоскости ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
также по параллельным прямым, значит, прямая l
пересечения секущей плоскости с плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
параллельна прямой AM
пересечения плоскостей AB_{1}M
и ABCD
. Таким образом, прямая l
проходит через точку N
параллельно прямой NK
, где K
— середина ребра B_{1}C_{1}
.
Пусть прямая l
пересекает прямую B_{1}C_{1}
в точке F
. Поскольку A_{1}KFN
— параллелограмм,
KF=A_{1}N=\frac{1}{4}A_{1}D_{1}=\frac{1}{4}B_{1}C_{1}.
Следовательно, B_{1}F:FC_{1}=3:1
.
Секущая плоскость пересекает плоскость грани BB_{1}C_{1}C
по прямой, параллельной B_{1}M
. Пусть эта прямая пересекает прямую CC_{1}
в точке P
, а прямую BC
— в точке Q
. Тогда MQ_{1}FB_{1}
— параллелограмм, поэтому
MQ=B_{1}F=\frac{3}{4}B_{1}C_{1}=\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}\cdot2MC=\frac{3}{2}MC,
значит,
CQ=MQ-MC=\frac{3}{2}MC-MC=\frac{1}{2}MC=\frac{1}{2}KC_{1}=FC_{1}.
Из равенства треугольников CPQ
и C_{1}PF
получаем, что P
— середина ребра CC_{1}
.
Секущая плоскость пересекает плоскость грани ABCD
по прямой, параллельной AM
. Пусть эта прямая пересекает прямые CD
и AD
в точках E
и G
. Аналогично предыдущему находим, что E
— середина CD
, а точка H
делит ребро AD
в отношении 1:3
, считая от D
.
Итак, искомое сечение — пятиугольник NFPEH
, в котором EP\parallel NH
и NF\parallel EH
.