9798. Постройте сечения параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через его диагональ DB_{1}
параллельно прямой AD_{1}
.
Решение. На продолжении ребра A_{1}D_{1}
за точку D_{1}
отложим отрезок D_{1}K=A_{1}D_{1}
. Тогда AD_{1}KD
— параллелограмм, поэтому DK\parallel AD_{1}
. Тогда прямая DK
(а значит, и точка K
) лежит в плоскости сечения.
Пусть прямая KB_{1}
, лежащая в секущей плоскости, пересекает ребро D_{1}C_{1}
в точке M
, а прямая, проходящая через точку B_{1}
параллельно MD_{1}
, пересекает ребро AB
в точке L
. Тогда четырёхугольник DMB_{1}N
— искомое сечение. Этот четырёхугольник — параллелограмм, так как NB_{1}\parallel DM
и DN\parallel MB_{1}
по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009).
Докажем, что параллелограмм DMB_{1}N
— искомое сечение. Действительно, плоскость построенного сечения проходит через прямую DB_{1}
и содержит прямую DK
, параллельную AD_{1}
.
Примечание. Легко получить, что AN:NB=D_{1}M:MC_{1}=1:1
.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 6.41, с. 70