9807. Три шара радиуса R
и три шара радиуса r
(R\gt r
) расположены так, что каждый шар касается двух шаров радиуса R
, двух шаров радиуса r
и плоскости \alpha
. Найдите отношение \frac{R}{r}
.
Ответ. 2+\sqrt{3}
, если R\gt r
.
Решение. Пусть A
, B
и C
— точки касания с плоскостью \alpha
большего радиуса R
, а K
, L
и M
— точки касания с плоскостью \alpha
шаров радиуса r
. Тогда ABC
и KLM
— равносторонние треугольники со сторонами соответственно 2x
и 2y
и с общим центром O
. Точки K
, L
и M
в некотором порядке лежат на отрезках, соединяющих точку O
с серединами сторон треугольника ABC
, например, точка K
— на отрезке OP
, где P
— середина AB
.
Расстояние от точки O
до стороны AB
треугольника ABC
равно OP=\frac{2x\sqrt{3}}{6}
, расстояние между точками AK=2\sqrt{xy}
, а OK=\frac{2y\sqrt{3}}{3}
(см. задачи 1963 и 365). При этом
KP=|OP-OK|=\left|\frac{2x\sqrt{3}}{6}-\frac{2y\sqrt{3}}{3}\right|.
С другой стороны, по теореме Пифагора
KP=\sqrt{AK^{2}-AP^{2}}=\sqrt{4xy-x^{2}}.
Значит,
\left|\frac{2x\sqrt{3}}{6}-\frac{2y\sqrt{3}}{3}\right|=\sqrt{4xy-x^{2}},~|x\sqrt{3}-2y\sqrt{3}|=3\sqrt{4xy-x^{2}},~
3x^{2}-12xy+12y^{2}=36xy-9x^{2},~x^{2}-4xy+y^{2}=0.
Учитывая, что x\gt y
, находим \frac{x}{y}=2+\sqrt{3}
.