9822. В тетраэдре ABCD
известно, что AB=10
, CD=18
, а каждое из остальных рёбер равно 5\sqrt{10}
. Найдите радиус цилиндра, боковая поверхность которого касается пяти рёбер тетраэдра, а ось цилиндра параллельна прямой: 1) CD
; 2) AB
.
Ответ. 1) \frac{10}{3}
; \frac{9}{2}
.
Решение. 1) Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Треугольники ACD
и BCD
равнобедренные с общим основанием CD
, поэтому их медианы AN
и BN
являются высотами, причём
BN=AN=\sqrt{AD^{2}-DN^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{10})^{2}-9^{2}}=\sqrt{169}=13.
Прямая CD
перпендикулярна плоскости ANB
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым AN
и BN
этой плоскости. Значит, AB\perp CD
.
Следовательно, ортогональная проекция цилиндра на плоскость ANB
, перпендикулярную прямой CD
, есть равнобедренный треугольник ANB
со сторонами BN=AN=13
, AB=10
и вписанная в него окружность, равная окружности основания цилиндра.
Из прямоугольного треугольника AMN
находим, что
MN=\sqrt{AN^{2}-AM^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12.
Пусть r
— радиус окружности, p
— полупериметр треугольника ANB
, D
— площадь. Тогда (см. задачу 452)
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot MN}{AN+AM}=\frac{5\cdot12}{13+5}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}.
2) Аналогично, r=\frac{9}{2}
.