9882. Основание пирамиды SABCD
— трапеция ABCD
(BC\parallel AD
), в которой AB=BC=CD=1
, AD=2
. Ребро SD
перпендикулярно плоскости основания и равно 4. Точка M
— середина ребра AS
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M
и перпендикулярной прямой AC
. Найдите площадь этого сечения.
Ответ. 1.
Решение. Пусть K
— середина ребра AD
. Тогда ABCK
и BCDK
— ромбы, поэтому AC\perp BK
. Треугольник ADS
прямоугольный, так как SD
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды. Отрезок MK
— его средняя линия, поэтому MK
тоже перпендикуляр к плоскости основания, а значит, MK\perp AC
. Таким образом, прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BKM
, значит, плоскость BKM
перпендикулярна прямой AC
(см. задачу 7700). Следовательно, искомое сечение — это треугольник BKM
.
Треугольник BKM
прямоугольный, его катет MK
— средняя линия треугольника ADS
, поэтому MK=\frac{1}{2}SD=2
. Отрезок BK=1
— второй катет треугольника BKM
, следовательно,
S_{\triangle BKM}=\frac{1}{2}BK\cdot MK=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2=1.