9887. В правильной шестиугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через сторону основания призмы и её большую диагональ, другое делит отрезок с концами в центрах оснований в отношении 1:3
. Известно, что площадь первого сечения равна S
. Найдите площадь второго.
Ответ. \frac{19}{24}S
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры оснований соответственно ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
правильной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, а плоскость первого сечения проходит через ребро BC
и диагональ BE_{1}
призмы. Поскольку E_{1}F_{1}\parallel BC
, эта плоскость проходит через ребро E_{1}F_{1}
.
Пусть прямая BC
пересекает прямые AF
и DE
в точках Y
и Z
соответственно, прямая YF
пересекает ребро AA_{1}
в точке K
, ребро DD_{1}
— в точке L
, а прямую ZE_{1}
— в точке X
. Тогда первое сечение — шестиугольник BCLE_{1}F_{1}K
, противоположные стороны которого попарно параллельны (см. задачу 8009). Поскольку BK\parallel XZ
, треугольник KYB
подобен треугольнику XYZ
, причём коэффициент подобия равен \frac{YB}{YZ}=\frac{1}{3}
. Значит, S_{\triangle KYB}=\frac{1}{9}S_{\triangle XYZ}
. Аналогично,
S_{\triangle LZC}=\frac{1}{9}S_{\triangle XYZ},~S_{\triangle E_{1}XF_{1}}=\frac{1}{9}S_{\triangle XYZ}.
Следовательно,
S_{\triangle XYZ}-3\cdot\frac{1}{9}S_{\triangle XYZ}=\frac{2}{3}S_{\triangle XYZ}=S,
откуда S_{\triangle XYZ}=\frac{3}{2}S
.
Пусть плоскость второго сечения, проходит через точку G
отрезка OO_{1}
, для которой OG:GO_{1}=1:3
. Пусть эта плоскость пересекает прямые AF
и DE
в точках Y'
и Z'
соответственно, а прямая, проходящая через точку Y
параллельно XY
, и прямая, проходящая через точку Z
параллельно XZ
, пересекаются в точке X'
. Тогда треугольник X'Y'Z'
подобен треугольнику XYZ
. Если сторона основания призмы равна 2a
, то YZ=6a
, а Y'Z'=5a
, поэтому коэффициент подобия равен \frac{5}{6}
. Значит,
S_{\triangle X'Y'Z'}=\frac{25}{36}S_{\triangle XYZ}=\frac{25}{36}\cdot\frac{3}{2}S=\frac{25}{24}S.
Осталось заметить, что площадь S_{1}
второго сечения можно получить, вычитая из площади треугольника X'Y'Z'
площади трёх треугольников, два из которых (с вершинами Y'
и Z'
) подобны треугольнику X'Y'Z'
с коэффициентом \frac{1}{5}
, а третий (с вершиной X'
) — с коэффициентом \frac{2}{5}
, т. е.
S_{1}=S_{\triangle X'Y'Z'}-2\cdot\frac{1}{25}S_{\triangle X'Y'Z'}-\frac{4}{25}S_{\triangle X'Y'Z'}=\frac{19}{25}S_{\triangle X'Y'Z'}=\frac{19}{25}\cdot\frac{25}{24}S=\frac{19}{24}.
Если O_{1}G:GO=1:3
, то соответствующее сечение — шестиугольник, равный шестиугольнику первого сечения.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 17, с. 6