9890. Основание пирамиды с равными двугранными углами при основании — параллелограмм, диагонали которого равны 6 и 4. Высота пирамиды равна 1. Ось цилиндра, осевое сечение которого — квадрат, параллельна диагонали основания, а окружности оснований пересекают ребра трёхгранных углов с вершинами в концах этой диагонали. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. \frac{15}{11}
, \frac{10}{7}
.
Решение. Двугранные углы при основании четырёхугольной пирамиды равны, поэтому высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание (см. примечание к задаче 7167). Параллелограмм, в который можно вписать окружность, — ромб. Следовательно, основание H
высоты SH
данной пирамиды SABCD
— центр ромба ABCD
.
Диагонали AC
и BD
ромба перпендикулярны. Пусть AC=6
, BD=4
. Рассмотрим случай, когда ось цилиндра параллельна диагонали AC
. Пусть r
— радиус цилиндра. Окружности оснований цилиндра описаны около треугольников сечений пирамиды плоскостями, параллельными плоскости BSD
и отстоящими от этой плоскости на расстояния, равные r
. Пусть вершины A_{1}
, B_{1}
, D_{1}
одного из этих треугольников расположены на рёбрах AS
, AB
и AD
соответственно. Тогда треугольная пирамида AS_{1}B_{1}D_{1}
с вершиной A
подобна (гомотетична) пирамиде ASBD
с коэффициентом k=\frac{3-r}{3}
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника BSD
. Продолжим SH
до пересечения с этой окружностью в точке S_{1}
. Тогда AH=2
— высота прямоугольного треугольника SAS_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AH^{2}=SH\cdot HS_{1}
, или 2^{2}=1\cdot(2R-1)
. Отсюда находим, что R=\frac{5}{2}
.
Из подобия получаем, что r=kR=\frac{3-r}{3}\cdot\frac{5}{2}
, откуда r=\frac{15}{4}
.
Если же ось цилиндра параллельна диагонали BD
основания, аналогично получим, что r=\frac{10}{7}
.