9900. Основание пирамиды SABCD
— ромб ABCD
, диагонали которого пересекаются в точке O
. Прямая SO
перпендикулярна плоскости ромба. Точка K
— середина ребра SA
. Точка X
принадлежит прямой DK
. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника AXC
, если SO=42
, AC=58
, BD=40
.
Ответ. 420.
Решение. Пусть M
— середина ребра SC
. Тогда KM
— средняя линия треугольника ASC
, поэтому KM=\frac{1}{2}AC=29
и KM\parallel AC
. Прямая AC
параллельна плоскости KDM
, содержащей прямую DK
, поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми AC
и DK
, т. е. длина их общего перпендикуляра, равно расстоянию от произвольной точки прямой AC
, например, от точки O
, до плоскости KDM
(см. задачу 7889).
Пусть прямая KM
пересекает высоту SH
пирамиды в точке E
. Тогда E
— середина SH
, а так как треугольник KDM
равнобедренный (DK=DE
как соответствующие медианы равных треугольников ADS
и CDS
), то DE
— перпендикуляр к KM
, а значит, и к AC
.
Прямая KM
перпендикулярна пересекающимся прямым SO
и DE
плоскости DOS
, поэтому прямая KM
перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, высоте OH
треугольника DOE
. Значит, прямая OH
перпендикулярна плоскости KDM
, а тогда OH\perp DK
и OH\perp KM
, а значит, и AC
. Таким образом, расстояние между прямыми AC
и DK
равно длине отрезка OH
.
Из прямоугольного треугольника DOE
находим, что
DE=\sqrt{OD^{2}+OE^{2}}=\sqrt{20^{2}+21^{2}}=\sqrt{841}=29,
а так как
S_{\triangle DOE}=\frac{1}{2}OD\cdot OE=\frac{1}{2}20\cdot21=210,
то
OH=\frac{2S_{\triangle DOE}}{DE}=\frac{420}{29}.
Пусть прямая, проходящая через точку H
параллельно AC
, пересекает прямую DK
в точке P
, а прямая, проходящая через точку H
параллельно OH
, пересекает прямую AC
в точке Q
. Тогда PQ
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC
и DK
. При этом точка P
лежит на отрезке KD
и PQ
— высота треугольника APS
. Следовательно, наименьшее возможное значение площади треугольника AXP
достигается в случае, когда точка X
совпадает с P
. Тогда
S_{\mbox{min}}=S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AC\cdot PQ=\frac{1}{2}AC\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot58\cdot\frac{420}{29}=420.