9902. Плоскости \alpha
и \beta
параллельны. Точки K
и M
принадлежат плоскости \alpha
, а точки N
и F
— плоскости \beta
. Известно, что MN\perp\beta
, MN=12
, MK=4
, NF=3
, KF=13
. Найдите расстояние между прямыми MN
и KF
.
Ответ. \frac{12}{5}
.
Решение. Прямая MN
перпендикулярна плоскости \beta
, значит, она перпендикулярна и плоскости \alpha
, параллельной \beta
. Пусть K_{1}
— ортогональная проекция точки K
на плоскость \beta
. Тогда MKK_{1}N
— прямоугольник, поэтому NK_{1}=MK=4
. Расстояние между параллельными плоскостями \alpha
и \beta
равно длине отрезка KK_{1}
, так как 12, а K_{1}F
— ортогональная проекция наклонной KF
на плоскость \beta
. Перпендикуляр NH
к прямой FK_{1}
равен расстоянию между скрещивающимися прямыми MN
и KF
(см. задачу 8406).
Из прямоугольного треугольника KK_{1}F
находим, что
FK_{1}=\sqrt{KF^{2}-KK_{1}^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5.
Поскольку
NF^{2}+NK_{1}^{2}=9+16=25=FK_{1}^{2},
треугольник FNK_{1}
прямоугольный с прямым углом при вершине N
(см. задачу 1972), отрезок NH
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,
NH=\frac{NF\cdot NK_{1}}{FK_{1}}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}.