9906. Ребро правильного тетраэдра ABCD
равно a
. Прямые AB
и CD
— оси равных цилиндров, боковые поверхности которых касаются. Найдите радиусы цилиндров.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Боковые поверхности цилиндров касаются, значит, у этих поверхностей есть общая точка и общая касательная плоскость, проходящая через эту точку, т. е. плоскость, имеющая с поверхностью каждого цилиндра единственную общую образующую. Тогда прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно общей касательной плоскости, пересекает ось каждого цилиндра. Следовательно, сумма радиусов цилиндров равна общему перпендикуляру скрещивающихся прямых AB
и CD
, т. е. \frac{a\sqrt{2}}{2}
(см. задачу 7046), а радиусы цилиндров равны \frac{a\sqrt{2}}{4}
.