9908. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны a
. Прямые SA
и BC
— оси равных цилиндров, боковые поверхности которых касаются. Найдите радиусы цилиндров.
Ответ. \frac{a\sqrt{6}}{6}
.
Решение. Боковые поверхности цилиндров касаются, значит, у этих поверхностей есть общая точка и общая касательная плоскость, проходящая через эту точку, т. е. плоскость, имеющая с поверхностью каждого цилиндра единственную общую образующую. Тогда прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно общей касательной плоскости, пересекает ось каждого цилиндра. Следовательно, сумма радиусов цилиндров равна общему перпендикуляру скрещивающихся прямых SA
и BC
, т. е. \frac{a\sqrt{6}}{3}
(см. задачу 7349), а радиусы цилиндров равны \frac{a\sqrt{6}}{6}
.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 174, с. 26