9916. Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной 4. Одно из рёбер пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. 5.
Решение. Пусть H
— центр основания ABCDEF
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
со стороной 4, боковое ребро SA=8
перпендикулярно плоскости основания.
Центр O
сферы равноудалён от вершин оснований, значит, он лежит на прямой, проходящей через точку H
перпендикулярно плоскости основания пирамиды, а значит, параллельной SA
(см. задачу 9056). С другой стороны, центр сферы равноудалён от точек A
и S
, поэтому он лежит на плоскости, проходящей через середину M
отрезка SA
перпендикулярно прямой SA
(см. задачу 8171). Значит, MO
— средняя линия прямоугольного треугольника SAD
с катетами AS=6
и AD=2AH=8
. Тогда центр O
сферы — середина гипотенузы SD
этого треугольника, а радиус R
сферы равен половине гипотенузы. Следовательно,
R=OS=\frac{1}{2}SD=\frac{1}{2}\sqrt{AD^{2}+AS^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{64+36}=5.