9916. Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной 4. Одно из рёбер пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. 5.
Решение. Пусть
H
— центр основания
ABCDEF
правильной шестиугольной пирамиды
SABCDEF
со стороной 4, боковое ребро
SA=8
перпендикулярно плоскости основания.
Центр
O
сферы равноудалён от вершин оснований, значит, он лежит на прямой, проходящей через точку
H
перпендикулярно плоскости основания пирамиды, а значит, параллельной
SA
(см. задачу 9056). С другой стороны, центр сферы равноудалён от точек
A
и
S
, поэтому он лежит на плоскости, проходящей через середину
M
отрезка
SA
перпендикулярно прямой
SA
(см. задачу 8171). Значит,
MO
— средняя линия прямоугольного треугольника
SAD
с катетами
AS=6
и
AD=2AH=8
. Тогда центр
O
сферы — середина гипотенузы
SD
этого треугольника, а радиус
R
сферы равен половине гипотенузы. Следовательно,
R=OS=\frac{1}{2}SD=\frac{1}{2}\sqrt{AD^{2}+AS^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{64+36}=5.

Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 73, с. 13