9926. На ребре BC
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отметили точку K
, для которой \angle BAK=15^{\circ}
. Найдите косинус угла между прямыми AK
и BD_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{6}
.
Решение. Воспользуемся формулой \cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta
из задачи 7427, где \gamma
— искомый угол между прямыми AK
и BD_{1}
, \alpha
— угол наклонной BD_{1}
с плоскостью ABCD
, \beta
— угол между прямой AK
и ортогональной проекцией BD
наклонной BD_{1}
на плоскость ABCD
.
Через точку D
параллельно AK
проведём прямую до пересечения с продолжением ребра BC
в точке P
. Тогда
\beta=\angle BDP=\angle BDC+\angle CDP=45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника DBD_{1}
находим, что
\cos\alpha=\cos\angle BDB_{1}=\frac{DB}{DB_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Значит,
\cos\angle PDB_{1}=\cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 13.34, с. 152