9927. На продолжении ребра CB
за точку B
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отметили точку M
, для которой \angle BAM=15^{\circ}
. Найдите угол между прямыми AM
и D_{1}B
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Воспользуемся формулой \cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta
из задачи 7427, где \gamma
— искомый угол между прямыми AM
и D_{1}B
, \alpha
— угол наклонной D_{1}B
с плоскостью ABCD
, \beta
— угол между прямой AM
и ортогональной проекцией BD
наклонной D_{1}B
на плоскость ABCD
.
Через точку B
параллельно AM
проведём прямую до пересечения с ребром AD
в точке P
. Тогда
\beta=\angle DBP=\angle DBA-\angle PBA=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника DBD_{1}
находим, что
\cos\alpha=\cos\angle DBD_{1}=\frac{DB}{BD_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Значит,
\cos\angle PDB_{1}=\cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно, \gamma=45^{\circ}
.