9934. На рёбрах AA_{1}
и B_{1}C_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отметили соответственно такие точки M
и N
, что A_{1}M=B_{1}N
. На рёбрах DC
и B_{1}C_{1}
отметили соответственно такие точки P
и K
, что CP=C_{1}K
. Плоскость \alpha
проходит через точки M
и N
параллельно прямой AB
. Плоскость \beta
проходит через точки P
и K
параллельно прямой CC_{1}
. Найдите угол между плоскостями \alpha
и \beta
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Плоскость грани ABB_{1}A_{1}
проходит через прямую AB
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет общую точку M
с плоскостью \alpha
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно AB
(см. задачу 8003). Пусть прямая l
пересекает ребро BB_{1}
в точке E
. Тогда B_{1}E=A_{1}M=BN
, треугольник NEB_{1}
равнобедренный с основанием EN
. Тогда биссектриса B_{1}C
его угла при вершине B_{1}
перпендикулярна EN
, а значит, и A_{1}C_{1}
. Кроме того, прямая B_{1}C
перпендикулярна ребру AB
, так как она лежит в плоскости BB_{1}C_{1}C
, перпендикулярной ребру AB
. Значит, B_{1}C\perp ME
. Таким образом, прямая B_{1}C
перпендикулярна пересекающимся прямым EN
и ME
плоскости \alpha
. Следовательно, прямая B_{1}C
перпендикулярна этой плоскости. Аналогично докажем, что прямая AC
перпендикулярна плоскости \beta
.
Угол \varphi
между плоскостями \alpha
и \beta
равен углу между прямыми B_{1}C
и AC
, соответственно перпендикулярными этим плоскостям, т. е.
\varphi=\angle ABC_{1}=60^{\circ}
(как угол равностороннего треугольника AB_{1}C
).
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 14.48, с. 165